一句话定义

图模型用图结构表示变量依赖关系，从而实现复杂分布的分解与高效推断。

问题设定

  • 输入：随机变量集合 ${X_i}$ 与依赖结构。
  • 输出：联合分布因子分解与推断/学习算法。
  • 假设：条件独立关系可由图表示。
  • 边界：图结构错设会误导推断。

数学表述

贝叶斯网络分解： \(p(x_1,\dots,x_n) = \prod_{i=1}^n p(x_i\mid \text{pa}(x_i))\) 马尔可夫随机场分解： \(p(x) = \frac{1}{Z} \prod_{c \in \mathcal{C}} \psi_c(x_c)\)

算法解释

  • 结构表示条件独立。
  • 推断可通过消息传递或采样。

优化与实现细节

  • 目标来源：最大似然或贝叶斯结构学习。
  • 求解器：变量消元、信念传播、MCMC。
  • 数值要点：大规模图推断复杂度高。

关联与边界

  • 对比 GMM：图模型更通用，GMM 是特定混合模型。
  • 对比 HMM：HMM 是链结构贝叶斯网络。
  • 边界：图结构学习困难，推断可 NP-hard。

失败模式

  • 错误独立假设导致系统偏差。
  • 高维图推断不可扩展。

最小伪代码

Input: graph structure, local factors
Run belief propagation or sampling
Return marginal/conditional queries

决策清单

  • 变量依赖可明确建模
  • 推断算法可扩展
  • 结构学习有足够先验或数据

个人备注

TODO